MATERIALES DE INGENIERÍA CIVIL: Cuantía Balanceada

Antes que nada, te invito a ver el vídeo explicativo de cuantía balanceada en el siguiente LINK DEL VIDEO, como alternativa al texto escrito líneas abajo.

Dada una determinada sección de viga, con resistencias de hormigón y acero ya establecidas, la cuantía balanceada se refiere a la cantidad de acero necesaria que producirá falla tanto del hormigón como del acero al mismo tiempo.

Ésta por tanto es una propiedad intrínseca de la sección, y es independiente de la carga que se aplique a dicha viga.
Por tanto, existe una cantidad de acero "As bal" tal, que logrará que tanto este acero como el hormigón fallen al mismo tiempo en algún momento a medida que se cargue la viga hasta la falla. Si se reforzara a la viga con una cantidad de acero menor a "As bal", el acero fallará antes. Contrariamente, si se refuerza a la sección con una cantidad de acero menor a "As bal", el hormigón fallará antes que el acero.

Entonces "As bal" marca la frontera entre una falla dúctil (fluencia del acero) y una falla abrupta (explosión del hormigón). Esto último no es recomendable ya que las fallas en hormigón armado sin previo aviso son siempre malas. Es preferible tener una falla dúctil que avise al usuario que la sección está cercana a la falla y se desaloje el ambiente o el inmueble.

Deducción de la fórmula

Para encontrar la cuantía balanceada de una sección, debemos trabajar con un bloque equivalente de esfuerzos de hormigón, que sea rectangular como el de la derecha.
Los valores de ɤ se obtuvieron experimentalmente por ensayos y típicamente valen 0.85. La relación entre c y a es:

donde β1 es:

con f'c en MPa.

El valor de d es la altura efectiva medida desde la fibra más comprimida de hormigón al centroide de aceros. As es el acero que aun no se conoce, y que se asume que está en fluencia fy. El hormigón también está en fluencia por tanto se puede construir el siguiente diagrama de compatibimidad de deformaciones:

Se ve en el anterior gráfico que estamos asumiendo que tanto acero como hormigón fluyen al mismo tiempo (єu y єy son las deformaciones unitarias en fluencia del hormigón y acero respectivamente). Así, mediante relación de triángulos podemos obtener la siguiente relación:

Por otro lado, las fuerzas de compresión del hormigón y de tracción del acero son respectivamente:

fuerza del Acero Fs = fy * As

fuerza del concreto Fc = ɤ*f'c*a*b

y como por equilibrio Fs = Fc, tenemos:

fy * As = ɤ*f'c*a*b

pero reemplazando a por c, y c por la fórmula de compatibilidad de deformaciones, resulta la fórmula final siguiente. Tomar en cuenta que como asumimos que tanto acero y concreto fluyen al mismo tiempo, la fórmula siguiente corresponde a la cantidad de acero que produce dicha falla. Esta es la fórmula del Acero balanceado:

Si esta fórmula la dividimos entre la sección de la viga para tener la expresión en términos de cuantía, obtenemos a continuación la fórmula de cuantía balanceada.

Cuando se refuercen vigas de hormigón armado para un momento "Mu" solicitante dado, el refuerzo debe ser siempre menor a "As bal" por seguridad. Es más, la norma ACI dice que debido a que las resistencias del hormigón pueden ser estadísticamente inferiores a f'c, es mejor no sobrepasar el refuerzo de vigas de un valor inferior a "As bal", llamado "As max" que es el 75% de "As bal". Si se necesitara utilizar más cantidad de acero que "As max" deberá reforzarse además la cara comprimida de la sección (utilizar acero a compresión As').

Ejemplo

Por ejemplo, si tenemos una viga de sección 20x40cm con recubrimiento de 5cm al eje de aceros, y resistencias de f'c=20MPa y fy=500MPa, la cuantía balanceada ρb se calcula de la siguiente manera:
β1 = 0,85
єu = 0.003 (def. unitaria en la que el hormigón falla)
єy = fy/E = 500/200'000
ɤ = 0.85
f'c = 20
fy = 500

Reemplazando los valores se tiene una cuantía balanceada de 0.01576. Multiplicando esta cuantía por b*d (la sección efectiva de la viga), el acero a tracción correspondiente a esta cuantía balanceada será de As = 11.032E-4m2 = 11.032 cm2. Entonces el acero máximo que podrá utilizarse a tracción sin reforzar el bloque a compresión de hormigón será As max = 0.75 * 11.032 = 8.274 cm4 (al rededor de 4 barras de acero de 16mm de diámetro).

Ejemplo de cuantía balanceada

Existe cierta confusión al momento de aprender el concepto de cuantía balanceada para el diseño de acero en flexión de vigas.

Es por eso que además de la teoría mostrada en un post anterior, a continuación va un ejemplo detallado de la manera de calcular la cuantía balanceada en una viga y también el propósito de ésta.

Dada la siguiente viga cuya combinación de carga U = 1.4D + 1.7L = 42 KN/m

La sección de la viga es:

Las propiedades de resistencia de los materiales son:

f'c = 21 MPa
fy = 410 MPa

SOLUCIÓN

Para conocer la cuantía balanceada de esta viga (o más propiamente dicho, de esta sección) solamente resta aplicar la fórmula deducida en la teoría (que puede consultarse aquí).

La fórmula de cuantía balanceada es entonces,

dónde:
β1 = 0,85 (valor experimental, que relaciona el eje neutro con la altura del bloque de compresión)
єu = 0.003 (deformación unitaria a la que el hormigón falla)
єy = fy/E = 410/200'000
ɤ = 0.85 (valor experimental que convierte el diagrama curvo de compresión en uno rectangular equivalente)
f'c = 21
fy = 410
reemplazando los valores en la fórmula se tiene:
ρb = 0.85*0.85*21*0.003/(410*(0.003+410/200000))
ρb = 0.0219838 [adimensional]

Si traducimos esta cuantía en cantidad de Acero As bal = ρb * b * d
dónde:
b = 0.20m
d = h - recubrimiento = 0.45m
Reemplazando datos se tiene: As bal= 0.0219838 * 0.2 * 0.45 = 0.001978m2
Convirtiendo este resultado a cm2: As bal = 19.78cm2
La cantidad de acero que, bajo una carga considerable, haría que tanto hormigón como acero fluyan al mismo tiempo en esta viga es de 19,78cm2.
Debe observarse que hasta este punto, en ningún momento se necesitó calcular el momento solicitante producto de la carga de 42 KN/m. Por tanto la cuantía balanceada es una propiedad de la sección transversal y de la resistencia de los materiales involucrados, y no así de las solicitaciones externas.
Una vez calculadas las solicitaciones externas, podemos calcular el momento solicitante. Luego, calculado este momento se procede al cálculo de la cantidad de acero necesaria para esta viga. La cuantía balanceada marca solamente una frontera que indica si la presente viga necesitará o no necesitará acero a compresión.
Continuando con el ejemplo, el momento solicitante Mu = 106.31 KN-m
Para este momento último, la cantidad necesaria de acero en el centro de la luz de la viga es de As = 7.04cm2. (se llega a este valor siguiendo el algoritmo de flexión).
La viga deberá armarse entonces con 7.04cm2 de acero.
Como se ve, esta cantidad de acero es mucho menor a la cantidad de acero de la cuantía balanceada. Esto quiere decir que la viga puede soportar aun mucha más que la de 42 KN/m (aumentando la respectiva cantidad de acero) antes de que esta viga necesite armarse también con acero a compresión.

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